建筑结构丨地震力到底怎么算出来的——等效地震加速度的反应谱

来源：知乎  作者：猪小宝

看这篇文章之前，请大家先补充下之前发的两篇，以便理清思路：

上一篇我们讨论了如何从地震的实测地面加速度入手，得到房子的等效地震加速度，也就是所需要承受的地震力。地震作用的大小，其实只跟房子的自振周期有关。

比如说，同样都是1995年的阪神地震，房子的自振周期不同，其地震力与自身重力的比值就完全不同。

如果房子的自振周期是0.243秒，那么最大地震力与自身重力的比值为1.47。

如果自振周期是0.5秒，最大地震力与自身重力的比值就是2.14。

如果自振周期是1秒，最大地震力与自身重力的比值就是1.50。

如果自振周期是2秒，最大地震力与自身重力的比值就是0.40。

也就是说，我们得到了四组数据，0.243秒对应1.47，0.5秒对应2.14，1秒对应1.50，2秒对应0.40。

把这组数据画成图像，横坐标是自振周期，纵坐标是该自振周期对应的最大地震力与自身重力的比值。

这位看官说了，你这不科学啊，我们只是知道横坐标0.5秒和1秒这两个点的情况，并不知道这两点之间的情况啊！

没错，所以我们要逐个逐个计算，对于每一个周期，都计算出相对应的最大地震力与自身重力的比值来。

换言之，我们现在有了四组数据，我们要把这个计算过程重复许多许多遍，进而得到许多许多组数据。我们要求出对应于 0.01秒、0.02秒、0.03秒、0.04秒、0.05秒……每一个自振周期值所对应的等效地震加速度来。

这位看官又说了，那这计算量也太大了，重复这么多次，求这么多的数据，得算到什么时候！没关系，我们有计算机，计算机最不怕的就是重复计算。

基于我们之前第二篇的 Matlab 代码，稍加改动，我们就可以求出这些数据点来。

最终的结果，我们得到了大量的自振周期与等效地震加速度相对应的数据。

这个就是这些数据点描成的图像。对比一下我们的几个例子：横坐标0.5，纵坐标对应2.1；横坐标1，纵坐标1.5；横坐标2，纵坐标对应0.4。

这个图像就是这次阪神地震的「反应谱」，可以很方便的用来求解建筑结构的地震力。比如说我们的这个小房子，我们很容易知道它的自振周期是0.243秒，然后我们去这个「反应谱」里，找到横坐标0.243，然后看对应的竖坐标是多少，恩，是1.47，所以最大地震力就等于房子重力的1.47倍。

有没有觉得很熟悉呢？没错，我们兜了一个大圈子，又回到第一篇的内容上来啦。

在第一篇里，我们就是用这种方法，横坐标0.243，找到纵坐标0.16的。

呃，为什么我们这里的反应谱这么不光滑，而规范上的看上去那么简洁呢？规范里的这些参数、公式是怎么来的呢？规范里的反应谱为什么是这个样子的？是不是一群「砖家」拍脑门乱想的？

事实上，我们这里得到的反应谱，只是阪神地震这一次地震在这个地震记录仪所在位置的反应谱，而规范需要给出的反应谱，是某个地区的反应谱。规范的反应谱需要考虑这个地区所可能发生的各种地震的综合情况，而不仅仅只考虑某一次地震。

比如说，我想要给出西雅图地区的反应谱，首先我得收集西雅图及其附近地区的历次地震实测记录，然后求出每一次实际地震的反应谱。

图中的每一条蓝线，都是一次实际地震的反应谱。有了这么多的反应谱，我再对它们取平均值，得到图中的红色曲线，这代表了该地区发生过的实际地震的平均情况。

然后，对于红色的这条平均反应谱，基于不同的抗震目标，我们要考虑适当的缩放，这还牵扯到概率理论、可靠度等等方面。这之后，为了方便使用，我们要给出一个简洁的数学表达式，也就是说，我们要调整规范的公式、参数，使得规范得出的蓝色反应谱接近于处理之后的实际反应谱。

至于如何让规范的数学表达式接近实际情况，这就是八仙过海各显神通了。

比如中国规范的表达式是这样的：

而美国规范则是这样规定的：

其实呢，道理都是一样的，追求的也是一个目标，只不过是细节不同而已。

不仅仅是等效的地震加速度，位移和速度其实也可以表达成反应谱的形式。对于同一个自振周期而言，位移、速度、加速度是等比例缩放的，所以我们可以把这三个反应谱画在同一张图形里。

横坐标是自振周期，纵坐标是该自振周期对应的最大速度，斜45度坐标是该自振周期对应的最大加速度，斜135度坐标是该自振周期对应的最大位移。四向坐标都采用对数坐标。而灰色、蓝色、红色不同的反应谱，则是我们在根据不同的设防目标进行适当的调整。

到此为止，我们算是把这个一层小房子折腾的差不多了。这位看官说了，搞了半天才只能应付一层小房子，两层的怎么办？不同楼层会不会互相影响？三层的呢？别着急，我们下一篇就开始向三层进军。

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